无三角形图中独立集的平均规模

我们证明了在具有 $n$ 个顶点且最大度为 $d$ 的无三角形图中，独立集平均规模的一个渐近紧的下界，表明从这样的图中均匀随机抽取的独立集，其期望规模至少为 $(1+o_d(1)) \frac{\log d}{d}n$。这给出了 Shearer 关于 Ramsey 数 $R(3,k)$ 上界的另一种证明。随后我们证明，在最大度为 $d$ 的无三角形图中，独立集的总数至少为 $\exp \left[\left(\frac{1}{2}+o_d(1) \right) \frac{\log^2 d}{d}n \right]$。指数中的常数 $1/2$ 是最优的。在这两种情形下，紧性均由一个随机 $d$-正则图展示。这两个结果都源于对统计物理中硬核模型的考虑：一个随机独立集 $I$ 从图中抽取，其概率正比于 $\lambda^{|I|}$，其中 $\lambda>0$ 为逸度参数。我们证明了在最大度为 $d$ 的无三角形图上，硬核模型的占据分数（随机独立集的归一化期望规模）的一个一般下界。对于所有 $\lambda =O_d(1)$，该界在 $d$ 中是渐近紧的。我们最后陈述了关于无三角形图中独立集的平均规模与最大规模之间关系的若干猜想，并给出了这些猜想在 Ramsey 理论中的一些推论。