关于在随机二部图中寻找平衡独立集的困难性

我们考虑在稀疏随机二部图中寻找大型平衡独立集的算法问题，更一般地，寻找具有二部划分每一侧指定顶点比例的独立集问题。在二部图中，找到密度至少一半的独立集是平凡的（取其中一个划分类）。相比之下，在平均度为 $d$ 的随机二部图中，最大的平衡独立集（包含每类相等数量的顶点）典型密度为 $(2+o_d(1)) \frac{\log d}{d}$。我们能否在这些图中高效地找到如此大的平衡独立集？通过利用重叠间隙性质（overlap gap property）与低度算法框架，我们证明局部和低度算法（即使是那些已知二部划分的算法）在任意固定 $\epsilon>0$ 且 $d$ 大但为常数时，无法找到密度大于 $(1+\epsilon) \frac{\log d}{d}$ 的平衡独立集。这一存在于客观存在与局部算法所能达成之间的因子 $2$ 的统计—计算鸿沟，类似于在（非二部）随机图中寻找大型独立集的鸿沟。因此，我们的结果表明该鸿沟在许多模型中普遍存在，且困难的计算问题可能潜藏于原本易处理的问题之中。二部图中这一鸿沟尤为引人注目的一点是，达到下界的算法极为简单，可作为 $1$-局部算法和度-$1$ 多项式（线性函数）实现。