度条件下超图的独立数

Ajtai 等人 1982 年一个著名结果表明，每个具有 n 个顶点、围长至少为 5 且平均度为 $t^{k-1}$ 的 k-图 H 包含大小为 $c n (\log t)^{1/(k-1)}/t$（对某 $c>0$）的独立集。本文中我们表明，在允许某些长度为 2、3 和 4 的圈的更弱条件下可找到同样大小的独立集。我们的工作受 Lo 和 Zhao 一个问题推动：他们问对 $k\ge 4$，当最大 $(k-2)$-度 $\Delta_{k-2}(H)\le dn$ 时，n 个顶点上的 k-图 H 必然具有多大的独立集。（关于 $(k-1)$-度的相应问题已由 Kostochka、Mubayi 和 Varstraëte [Random Structures & Algorithms 44, 224--239, 2014] 解决。）本文中我们表明，每个满足 $\Delta_{k-2}(H)\le dn$ 的 n 顶点 k-图 H 包含大小为 $c (\frac nd \log\log \frac nd)^{1/(k-1)}$ 的独立集，且在附加条件下包含大小为 $c (\frac nd \log \frac nd)^{1/(k-1)}$ 的独立集。前一断言给出了完全 k-图的 $(k-2)$-度 Turán 密度的新上界。