非均匀不拥挤超图的独立数与一类反Ramsey型结果

我们证明了如下结论：固定整数 $k\geq 2$，令 $T$ 为满足 $T\geq 1.5$ 的实数。令 $\mathcal{H}=(V,\mathcal{E}_2\cup \mathcal{E}_3\cup\dots\cup\mathcal{E}_k)$ 为具有顶点集 $V$ 和大小为 $i=2,\ldots,k$ 的边集 $\mathcal{E}_i$ 的非均匀超图。假设 $\mathcal{H}$ 不含2-圈（无论边的大小），且既不含由2-元素边构成的3-圈也不含4-圈。若平均度 $t_i^{i-1} := i|\mathcal{E}_i|/|V|$ 满足 $t_i^{i-1} \leq T^{i-1}(\ln T)^{\frac{k-i}{k-1}}$（$i=2,\dots,k$），则存在仅依赖于 $k$ 的常数 $C_k>0$，使得 $\alpha(\mathcal{H})\geq C_k\frac{|V|}{T}(\ln T)^{\frac{1}{k-1}}$，其中 $\alpha(\mathcal{H})$ 表示 $\mathcal{H}$ 的独立数。这推广了Ajtai、Komlós、Pintz、Spencer和Szemerédi以及Duke、Rödl和第二作者关于均匀超图的结果。作为应用，我们考虑了非均匀超图上的反Ramsey型问题。令 $\mathcal{H}=\mathcal{H}(n;2,\ldots,\ell)$ 为定义在 $n$ 个顶点集 $V$ 上的超图，其中对 $s=2,\ldots,\ell$，$V$ 的每个 $s$-子集都是 $\mathcal{H}$ 的一条超边。令 $\Delta$ 为满足以下条件的 $\mathcal{H}$ 的边着色：(a) 共享顶点的两条超边颜色不同；(b) 大小不同的两条超边颜色不同；(c) 用于大小为 $s$ 的超边的颜色至多出现 $u_s$ 次。对于这样的着色 $\Delta$，令 $f_{\Delta}(n;u_2,\ldots,u_{\ell})$ 为满足 $\mathcal{H}[U]$ 的每条超边具有不同颜色的 $V$ 的子集 $U$ 的最大大小，并令 $f(n;u_2,\ldots,u_{\ell}):=\min_{\Delta} f_{\Delta}(n;u_2,\ldots,u_{\ell})$。我们在乘性对数因子范围内确定了 $f(n;u_2,\ldots,u_{\ell})$。