不含偶圈的三重系统的数目

对于 $k \ge 4$，松散 $k$-圈 $C_k$ 是一个超图，具有不同边 $e_1, e_2, \ldots, e_k$ 使得连续边（模 $k$）恰好交于一个顶点而所有其他边对不相交。我们的主要结果是对于每个偶数 $k \ge 4$，存在 $c>0$ 使得顶点集 $[n]$ 上不含 $C_k$ 的三重系统数目至多为 $2^{cn^2}$。一个简单构造表明指数在数量级上是最优的。这可视为 Morris 和 Saxton 工作的超图推广，他们证明了图的类似结果，那是一个长期问题。对于 $r$-一致超图 $r>3$，我们改进了平凡上界但未达到指数中的数量级，我们猜想其为 $n^{r-1}$。我们的证明方法不同于近期大多数类似枚举离散结构结果所用方法，因为它不使用超图容器。一个新成分是对二分典则 Ramsey 定理的非对称版本的一些（新的）定量估计的使用。