一致松散路径与循环的Ramsey数

最近，确定一致超图中松散路径与循环的Ramsey数受到了相当多的关注。已经证明，$k$-一致松散循环 $\mathcal{C}^k_n$ 的 $2$-色 Ramsey 数 $R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$ 渐近于 $\frac{1}{2}(2k-1)n$。在此我们猜想，对于任意 $n\geq m\geq 3$ 和 $k\geq 3$，有\n$$R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{P}^k_m)=R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)+1=(k-1)n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor.$$\n最近 $k=3$ 的情形由作者证明。在本文中，首先我们以一个短得多的证明表明该猜想对 $k=3$ 成立。然后，我们表明对于固定的 $m\geq 3$ 和 $k\geq 4$，该猜想等价于（仅）对任意 $2m\geq n\geq m\geq 3$ 的最后一个等式。因此，$m=3$ 的情形随之得证。