$4$-一致松散圈的拉姆齐数

Gy\'arf\'as, S\'ark\"ozy and Szemer\'edi 证明了 $k$-一致松散圈 $\mathcal{C}^k_n$ 的 $2$-色拉姆齐数 $R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$ 渐近于 $\frac{1}{2}(2k-1)n$，由于 Haxell 等人，对 $k=3$ 得到了相同结果。关于他们的结果，猜想对于每 $n\geq m\geq 3$ 和 $k\geq 3$，有 $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=(k-1)n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor.$$ 在 $2014$ 年，作者证明了 $k=3$ 的情况。最近，作者证明了该猜想对 $n=m\geq 2$ 和 $k\geq 8$ 成立。在本文中，我们证明该猜想在 $k=4$ 且 $n>m$ 或 $n=m$ 为奇数时成立。当 $n=m$ 为偶数时，我们证明 $R(\mathcal{C}^4_n,\mathcal{C}^4_n)$ 介于两个相差为 $1$ 的值之间。