混合奇偶性圈的 Ramsey 数 I

记 $R(G_1, G_2, G_3)$ 为最小整数 $N$，使得 $N$ 个顶点的完全图的任意三边着色包含某个颜色 $i\in{1,2,3}$ 的单色图 $G_i$ 副本。在由三篇论文组成的系列中（本文为第一篇），我们考虑 $G_1, G_2$ 和 $G_3$ 为混合奇偶性圈的情形。具体而言，在本文及后续论文中，我们考虑 $R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中 $n$ 和 $m$ 为偶数，$\ell$ 为奇数。Figaj 和 \L uczak 确定了该情形的渐近结果，我们对此加以改进并给出精确结果。我们证明，当 $n,m$ 和 $\ell$ 充分大时，$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{2n+m-3, n+2m-3, \tfrac{1}{2} n +\tfrac{1}{2} m + \ell - 2\}$。当最长圈为偶数长度时，本文的证明是自洽的。然而，当最长圈为奇数长度时，我们需要一个额外的技术性结果，其证明构成了后续论文的主体。