3-一致松散路径与松散圈的拉姆齐数

Haxell 等人 [P. Haxell, T. Luczak, Y. Peng, V. R\"{o}dl, A. Ruci\'{n}ski, M. Simonovits, J. Skokan, The Ramsey number for hypergraph cycles I, J. Combin. Theory, Ser. A, 113 (2006), 67-83] 证明了 $2n$ 个顶点上 3-一致松散圈的 2-色拉姆齐数渐近为 $\frac{5n}{2}$。他们的证明基于正则性引理方法。在此，我们不使用该方法，通过确定涉及 3-一致超图中松散路径和圈的 2-色拉姆齐数的精确值，推广了他们的结果。更确切地说，我们证明了对于任意 $n\geq m\geq 3$，有 $R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{P}^3_m)=R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{C}^3_m)=R(\mathcal{C}^3_n,\mathcal{C}^3_m)+1=2n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor$；且对于 $n>m\geq3$，有 $R(\mathcal{P}^3_m,\mathcal{C}^3_n)=2n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$。这些结果正面回答了 Gy\'{a}rf\'{a}s 和 Raeisi 提出的问题 [The Ramsey number of loose triangles and quadrangles in hypergraphs, Electron. J. Combin. 19 (2012), #R30]。