无彩虹长度3路径的边彩色3均匀超图及其在 Ramsey 理论中的应用

受 Ramsey 理论问题的启发，我们考察包含无彩虹长度3路径的3均匀超图的边着色问题。存在三种长度为3的3均匀路径：紧路径 $\mathcal{T}=\{v_1v_2v_3, v_2v_3v_4, v_3v_4v_5\}$、混乱路径 $\mathcal{M}=\{v_1v_2v_3, v_2v_3v_4, v_4v_5v_6\}$ 和松散路径 $\mathcal{L}=\{v_1v_2v_3,$ $v_3v_4v_5, v_5v_6v_7\}$。本文 characterize了无彩虹 $\mathcal{T}$、$\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{L}$ 的边彩色完全3均匀超图 $K_n^{(3)}$ 的结构。这推广了Thomason-Wagner关于无彩虹长度3路径的边彩色完全图 $K_n$ 的结果。我们也获得了这些结果的多部份推广。作为应用，我们获得了若干Ramsey类型结果。给定两个3均匀超图 $H$ 和 $G$，受约束的Ramsey数 $f(H,G)$ 定义为最小整数 $n$，使得在任意颜色数目的 $K^{(3)}_n$ 的边着色中，必然存在 $H$ 的单色拷贝或 $G$ 的彩虹拷贝。对于 $G\in \{\mathcal{T}, \mathcal{M}, \mathcal{L}\}$ 和无限多个3均匀超图 $H$，我们将 $f(H, G)$ 减少到 $H$ 的2色Ramsey数 $R_2(H)$，即 $f(H, G)=R_2(H)$。给定3均匀超图 $G$ 和整数 $n\geq |V(G)|$，反Ramsey数 $ar(n, G)$ 为最小整数 $k$，使得在至少 $k$ 种颜色的 $K^{(3)}_n$ 的边着色中，必然存在 $G$ 的彩虹拷贝。我们证明 $ar(n, \mathcal{T})=\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+2$ 对 $n\geq 5$ 成立，$ar(n, \mathcal{M})=3$ 对 $n\geq 7$ 成立，$ar(n, \mathcal{L})=n$ 对 $n\geq 7$ 成立。我们新获得的Ramsey类型结果扩展了Gyárfás-Lehel-Schelp和Liu关于受约束Ramsey数的结果，改进了Tang-Li-Yan关于反Ramsey数的结果。