关于大围长线性超图的数量

长度为 $\ell$ 的 $r$-均匀\textit{线性圈}（记为 $C_{\ell}^r$）是一个 $r$-图，其边为 $e_1, \ldots, e_{\ell}$，满足对于每个 $i\in [\ell-1]$，有 $|e_i\cap e_{+1}|=1$，$|e_{\ell}\cap e_1|=1$，且对于所有其他对 $\{i, j\},\ i\neq j$，有 $e_i\cap e_j=\emptyset$。对于每个 $r\geq 3$ 和 $\ell\geq 4$，我们证明存在一个依赖于 $r$ 和 $\ell$ 的常数 $C$，使得围长为 $\ell$ 的线性 $r$-图的数量至多为 $2^{Cn^{1+1/\lfloor \ell/2\rfloor}}$。此外，我们将结果扩展到 $\ell=4$ 的情况，证明存在一个依赖于 $r$ 的常数 $C$，使得不含 $C_{4}^r$ 的线性 $r$-图的数量至多为 $2^{Cn^{3/2}}$。证明的思路是将超图枚举问题归约为某些图枚举问题，然后应用图容器方法的一个变体，该方法可能具有独立的意义。我们扩展了 Kleitman 和 Winston 关于无 $C_4$ 图数量的突破性结果，证明了对于足够大的 $n$，包含至多 $n^2/32\log^6 n$ 个 $C_4$ 的图的数量至多为 $2^{11n^{3/2}}$。我们进一步表明，对于每个 $r\geq 3$ 和 $\ell\geq 2$，每条边仅包含在 $O(1)$ 个长度至多为 $2\ell$ 的圈中的图的数量，渐近地被 $2^{3(\ell+1)n^{1+1/\ell}}$ 所界定。