用紧圈覆盖与平铺超图

给定 $3 \leq k \leq s$，我们称一个 $k$-一致超图 $C^k_s$ 为 $s$ 个顶点上的紧圈，如果存在 $C^k_s$ 顶点的一个循环排序，使得该排序下每 $k$ 个连续顶点构成一条边。我们证明若 $k \ge 3$ 且 $s \ge 2k^2$，则每个具有最小余度至少为 $(1/2 + o(1))n$ 的 $n$ 顶点 $k$-一致超图具有如下性质：每个顶点都被一个 $C^k_s$ 的副本覆盖。我们的结果对无穷多对 $s$ 和 $k$（例如当 $s$ 与 $k$ 互素时）是渐近最优的。一个完美的 $C^k_s$-平铺是 $C^k_s$ 的顶点不相交副本的一个生成集合。当 $s$ 被 $k$ 整除时，确定保证完美 $C^k_s$-平铺的最小余度的问题已由 Mycroft 的一个结果解决。我们证明若 $k \ge 3$ 且 $s \ge 5k^2$ 不被 $k$ 整除且 $s$ 整除 $n$，则每个具有最小余度至少为 $(1/2 + 1/(2s) + o(1))n$ 的 $n$ 顶点 $k$-一致超图具有一个完美的 $C^k_s$-平铺。同样，我们的结果对无穷多对 $s$ 和 $k$（例如当 $s$ 与 $k$ 互素且 $k$ 为偶数时）是渐近最优的。