紧圈的余度 Turán 密度

$k$-一致超图 $F$ 的余度 Turán 密度 $\gamma(F)$ 是最小的非负实数 $\gamma$，使得每个具有足够多 $n$ 个顶点的 $k$-一致超图，若其中每 $k-1$ 个顶点的集合包含在至少 $(\gamma+o(1))n$ 条边中，则包含 $F$ 的一个副本。Piga、Sanhueza-Matamala 和 Schacht 的近期结果确定，对于长度为 $\ell$（其中 $\ell \ge \ell_0$ 且 $\ell$ 不能被 3 整除）的每个 3-一致紧圈 $C_\ell^3$，$\gamma(C_{\ell}^3)=\frac13$。在本文中，我们研究 $k$-一致紧圈 $C_\ell^k$ 的余度 Turán 密度。对于不能被 $k$ 整除的一般 $\ell$，我们建立了关于 $\gamma(C_{\ell}^k)$ 的改进的上下界。这些结果产生以下推论：1). 对于任意素数 $k \ge 3$，我们证明对于所有不能被 $k$ 整除的充分大的 $\ell$，$\gamma(C_{\ell}^k)=\frac13$，推广了上述 Piga 等人的定理。2). 对于所有 $k \ge 3$，我们在密度至少为 $\frac{\varphi(k)}{k}$ 的不能被 $k$ 整除的整数 $\ell$ 集合中确定了 $\gamma(C_{\ell}^k)$ 的精确值，其中 $\varphi(\cdot)$ 表示欧拉函数。3). 我们完整回答了 Han、Lo 和 Sanhueza-Matamala 关于其 $\gamma(C_{\ell}^k)$ 构造紧致性的问题。此外，我们的结果还确定了 $C_\ell^{k-}$（即长度为 $\ell$ 且移除一条边的 $k$-一致紧圈）的余度 Turán 密度，适用于对于每个 $k \ge 3$ 具有正密度的新的整数 $\ell$ 集合。我们的上界结果基于对具有高最小余度的无 $C_{\ell}^k$ 的 $k$-一致超图的结构刻画，而下界则源自一种新颖的构造模型，结合了整数 $k$ 和 $\ell$ 的算术性质。