一致稠密 $k$-一致超图中的最小正一致 Turán 密度

一个 $k$-图（或 $k$-一致超图）$H$ 是一致稠密的，如果 $H$ 的边分布相对于由 $(k-2)$-元组集合诱导的每一大型 $k$-顶点团集合都是一致稠密的。Reiher、Rödl 和 Schacht [Int. Math. Res. Not., 2018] 提出了对给定 $k$-图 $F$ 在一致稠密 $k$-图中的一致 Turán 密度 $\pi_{k-2}(F)$ 的研究。同时，他们 [J. London Math. Soc., 2018] 刻画了满足 $\pi_{k-2}(F)=0$ 的 $k$-图 $F$，并表明 $\pi_{k-2}(\cdot)$ 从 0 “跳跃”到至少 $k^{-k}$。特别地，他们问是否存在满足 $\pi_{1}(F)$ 等于或任意接近 $1/27$ 的 $3$-图 $F$。最近，Garbe、Kráľ 和 Lamaison [arXiv:2105.09883] 构造了某些满足 $\pi_{1}(F)=1/27$ 的 $3$-图。在本文中，对任意 $k$-图 $F$，我们基于概率框架给出了 $\pi_{k-2}(F)$ 的下界，并提供了一个一般定理，将证明 $\pi_{k-2}(F)$ 的上界归约为利用 $k$-图的正则性方法将 $F$ 嵌入到同密度的约化 $k$-图中。通过使用该结果和多重色超图的 Ramsey 定理，我们将 Garbe、Kráľ 和 Lamaison 的结果推广到 $k\ge 3$。换言之，我们给出了满足 $\pi_{k-2}(F)=k^{-k}$ 的 $k$-图 $F$ 的一个充分条件。此外，我们还构造了一个满足 $\pi_{k-2}(F)=k^{-k}$ 的无穷 $k$-图族。