均匀 Turán 密度 —— 调色盘分类

1980 年代，Erd\H{o}s 和 S\'os 启动了对带有边分布均匀性条件的 Turán 超图问题的研究，即确定超图 H 在边分布均匀的宿主超图中存在的密度阈值。具体而言，Erd\H{o}s 和 S\'os 询问确定超图 $K_4^{(3)-}$ 和 $K_4^{(3)}$ 的均匀 Turán 密度。超过 30 年后，前者由 Glebov、Kr\'l' 和 Volec [Israel J. Math. 211 (2016), 349-366] 以及 Reiher、R\"odl 和 Schacht [J. Eur. Math. Soc. 20 (2018), 1139-1159] 解决，而后者仍悬而未决。在这两个案例以及多个额外案例中，紧密的下界由一种称为“调色盘”(palette) 的构造方式提供。Lamaison [arXiv:2408.09643] 最近证明，3 均匀超图的均匀 Turán 密度等于其不可被调色盘着色的调色盘密度的上确界。我们给出一种必要且充分的条件，可轻易检验 3 均匀超图是否可被给定调色盘集合着色而不可被另一给定调色盘集合着色。我们还展示了本结果如何用于证明存在具有特定均匀 Turán 密度值的 3 均匀超图。