三一致超图中紧密圈的图兰密度

一个r-一致超图$\mathcal{H}$的图兰密度，记为$\pi(\mathcal{H})$，是指不含$\mathcal{H}$副本的n顶点r-一致超图的最大密度当$n \to \infty$时的极限。记$\mathcal{C}_{\ell}$为$\ell$个顶点上的3-一致紧密圈。Mubayi和Rödl给出了一个“迭代放大”构造，表明$\mathcal{C}_5$的图兰密度至少为$2\sqrt{3} - 3 \approx 0.464$，且该界被猜想是紧的。他们的构造也不含不被3整除的更大$\ell$对应的$\mathcal{C}_{\ell}$，这表明它对这些超图可能也是极值构造。在此，我们确定了所有不被3整除的大$\ell$对应的$\mathcal{C}_{\ell}$的图兰密度，证明确有$\pi(\mathcal{C}_{\ell}) = 2\sqrt{3} - 3$。据我们所知，这是首个图兰密度被确定且极值构造为迭代放大构造的例子。我们证明中的一个关键组成部分（可能具有独立意义）是如下陈述的3-一致类比：“一个图是二部的当且仅当它不含奇圈”。