含 $r+1$ 个顶点的 $r$-图的图兰数

令 $H_k^r$ 表示具有 $k$ 条边和 $r+1$ 个顶点的 $r$-一致超图，其中 $k \leq r+1$（易见此类超图在同构意义下唯一）。已知的其图兰密度的一般上界为：对所有 $k \geq 3$ 有 $\pi(H_k^r) \leq \frac{k-2}{r}$，以及对 $k=3$ 有 $\pi(H_3^r) \geq 2^{1-r}$。我们证明当 $r\to\infty$ 时 $\pi(H_k^r) \geq (C_k - o(1)) \, r^{-(1+\frac{1}{k-2})}$。在 $k=3$ 的情形，我们证明当 $r\to\infty$ 时 $\pi(H_3^r) \geq (1.7215 - o(1)) \, r^{-2}$，且对所有 $r$ 有 $\pi(H_3^r) \geq r^{-2}$。