均匀稠密超图中星形的 Turán 密度

一个 3 均匀超图（或 3 图）$H=(V,E)$ 若满足：对任意子集 $X,Y,Z\subseteq V$，使得 $\{x,y,z\}$ 为边的三元组 $(x,y,z)\in X\times Y\times Z$ 数量至少为 $d|X||Y||Z|-\mu |V|^3$，则称其为 $(d,\mu,1)$-\emph{稠密}。$k$-\emph{星} $S_k$ 是一个 3 图，包含一个中心顶点和 $k$ 个互不相同的叶顶点，其边集由所有包含中心和两个互不相同叶子的三元组组成。限定在稠密 3 图上，确定 $S_k$ 的 $1$-\emph{uniform Turán 密度} $\pi_1(S_k)$ 的问题由 Schacht 在 ICM 2022 提出。具体而言，Reiher、Rödl 和 Schacht 提出了一个调色板构造，证明 $\pi_1(S_k)\ge \frac{k^2-5k+7}{(k-1)^2}$（$k\ge 3$），并且证明 $\pi_1(S_3)=1/4$。Lamaison 和 Wu 后来证明该调色板构造在 $k\ge 48$ 时是最优的。本文改进了 Lamaison 和 Wu 的结果，证明 $\pi_1(S_k)=\frac{k^2-5k+7}{(k-1)^2}$ 对所有 $k\ge 9$ 成立。