关于 codegree Turán 密度为零的 3-图

对于一个 $k$-uniform 超图（或简称为 $k$-图）$F$，codegree Turán 密度 $\pi_{\mathrm{co}}(F)$ 是所有 $\alpha$ 的上确界，其中存在任意大的 $n$ 顶点且 $F$-free $k$-图 $H$ 在其中 $V(H)$ 的每个 $(k-1)$ 子集都包含至少 $\alpha n$ 条边。最近证明了对于每个 $3$-图 $F$，若 $\pi_{\mathrm{co}}(F)=0$ 则 $\pi_{\therefore}(F)=0$，其中 $\pi_{\therefore}(F)$ 是 $F$ 的均匀 Turán 密度，定义为所有 $d$ 的上确界，其中存在无限多个 $F$-free $k$-图 $H$ 满足其任何诱导的线性大小子图都具有至少 $d$ 的边密度。在本文中，我们引入一种用于 $3$-图的分层结构，以获得逆向含义：每个分层 $3$-图 $F$ 若 $\pi_{\therefore}(F)=0$ 则 $\pi_{\mathrm{co}}(F)=0$。在此过程中，我们以否定方式回答了 Falgas-Ravry、Pikhurko、Vaughan 和 Volec [J. London Math. Soc., 2023] 关于是否总是存在 $\pi_{\therefore}(F)\leq\pi_{\mathrm{co}}(F)$ 的问题。具体而言，我们构造了具有正但任意小 $\pi_{\mathrm{co}}(F)$ 且 $\pi_{\therefore}(F)\ge 4/27$ 的反例 $F$。