拟随机超图中的多部超图平铺

给定 $k\ge 2$ 以及两个 $k$-图（$k$-一致超图）$F$ 和 $H$，$H$ 中的一个 \emph{$F$-因子} 是一组顶点不交的 $F$ 的副本，它们共同覆盖 $H$ 的顶点集。Lenz 和 Mubayi 研究了具有最小度 $\Omega(n^{k-1})$ 的拟随机 $k$-图中的 $F$-因子问题。特别地，他们构造了一个 $1/8$-稠密的拟随机 $3$-图序列 $H(n)$，其最小度为 $\Omega(n^2)$、最小码度为 $\Omega(n)$，但不存在 $K_{2,2,2}$-因子。我们证明：若 $p>1/8$ 且 $F$ 是一个含 $f$ 个顶点的 $3$-部 $3$-图，则对充分大的 $n$，所有阶为 $n$、最小码度为 $\Omega(n)$ 且 $f\mid n$ 的 $p$-稠密拟随机 $3$-图都具有 $F$-因子。也就是说，在给定最小码度条件 $\Omega(n)$ 下，$1/8$ 是确保拟随机 $3$-图中所有 $3$-部 $3$-图 $F$-因子的密度阈值。此外，我们表明不能用最小顶点度条件替代最小码度条件。事实上，我们发现对任意 $p\in(0,1)$ 和 $n\ge n_0$，存在阶为 $n$、最小度为 $\Omega (n^2)$ 的 $p$-稠密拟随机 $3$-图，其不具有 $K_{2,2,2}$-因子。特别地，我们研究了在给定最小码度条件 $\Omega(n)$ 下，拟随机 $3$-图中每个 $3$-部 $3$-图 $F$ 的 $F$-因子的最优密度阈值。