3-一致超图中线性三角形覆盖的度与余度阈值

给定两个 $k$-一致超图 $F$ 和 $G$，若 $G$ 中每个顶点都包含于一个 $F$ 的副本中，则称 $G$ 具有 $F$-覆盖。对 $1\le i \le k-1$，令 $c_i(n,F)$ 为最小整数，使得每个具有 $\delta_i(G)> c_i(n,F)$ 的 $n$-顶点 $k$-一致超图 $G$ 都有 $F$-覆盖。覆盖问题已由 Falgas-Ravry 和 Zhao [Codegree thresholds for covering 3-uniform hypergraphs, SIAM J. Discrete Math., 2016] 系统研究。去年，Falgas-Ravry、Markstr\"om 和 Zhao [Triangle-degrees in graphs and tetrahedron coverings in 3-graphs, Combinatorics, Probability and Computing, 2021] 在 $F$ 为广义三角形时渐近确定了 $c_1(n, F)$。在本注记中，我们给出了当 $F$ 为线性三角形 $C_6^3$ 时 $c_2(n, F)$ 的精确值，并渐近确定了 $c_1(n, F)$ 的值，其中 $C_6^3$ 是以顶点集 $\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ 和边集 $\{v_1v_2v_3,v_3v_4v_5,v_5v_6v_1\}$ 构成的 3-一致超图。