图中的三角形度与 3-一致超图中的四面体覆盖

我们研究 $3$-一致超图（$3$-图）中的一个覆盖问题：给定 $3$-图 $F$，记 $c_1(n,F)$ 为最小整数 $d$，使得若 $G$ 是顶点数为 $n$ 的 $3$-图且最小顶点度 $\delta_1(G)>d$，则 $G$ 的每个顶点都包含在 $G$ 的一个 $F$ 副本中？当 $F$ 为广义三角形 $K_4^{(3)-}$ 时，我们渐近确定了 $c_1(n,F)$；当 $F$ 为四面体 $K_4^{(3)}$（4 个顶点上的完全 $3$-图）时，我们给出了接近最优的界。后一问题原来是图的下述问题的一个特例：给定边数为 $m> n^2/4$ 的 $n$-顶点图 $G$，最大的 $t$ 是多少，使得 $G$ 中某个顶点必包含在 $t$ 个三角形中？我们给出了该问题的上界构造，并猜想其在渐近意义下紧。我们对三部图证明了该猜想，并使用旗帜代数计算为一般情形下的真实性提供了一些证据。