Berge星的饱和光谱

禁用子图问题是极端组合学中最古老的问题之一——n个顶点的F自由图可以拥有多少条边？这个问题的答案是众所周知的F的极端数。观察到每个极端示例都必须是最大F自由的，自然的最小化问题也在研究——n个顶点的 maximal F-free 图可以拥有多少条边？这导致了F的饱和数。这两个问题对于任何k≥3的k均匀超图都 notoriously difficult to extend. Barefoot等人在禁用图中的三角形的情况下提出了一个美妙的问题——在极端数与饱和数之间，哪些边数实际上被n顶点 maximal F-free 图实现？因此得名F的饱和光谱，这种问题过去二十年间通过大量论文精确确定了几个图的饱和光谱。在本文中，我们将饱和光谱的概念扩展到超图情境。给定图F和在相同顶点集上嵌入的超图G，我们称G为Berge-F，如果存在一个双射$\phi:E(F)\to E(G)$，使得$e\subseteq \phi(e)$对所有e∈E(F)都成立。我们完全确定了3均匀Berge-$K_{1,\ell}$的饱和光谱，其中1≤$\ell$≤4，以及当$\ell$=$5$且$5|n$时的情况。我们也确定了对于所有$\ell$≥$5$的3均匀Berge-$K_{1,\ell}$的饱和光谱中除少数常数个值外的所有值。我们指出，这是第一个确定任何非平凡超图饱和光谱的成果。