关于最小饱和图的一些结果

设 $G$ 为一个图,$\mathcal{F}$ 为一个图族。我们称图 $G$ 是 $\mathcal{F}$-饱和的,如果 $G$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中的任何成员,并且对任意 $e\in E(\overline{G})$,$G+e$ 会产生 $\mathcal{F}$ 中某个成员的副本。$\mathcal{F}$ 的饱和数是 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-饱和图的最少边数,记为 $\sat(n,\mathcal{F})$。若 $\mathcal{F}=\{F\}$,则简记为 $\sat(n,F)$。在本文中,我们确定了 $\sat(n,\{K_3,P_k\})$ 的精确值,并将其作为应用,得到了 $\sat(n,K_3\cup P_k)$ 在 $k\ge 10$ 且 $n$ 充分大时的两个界。此外,我们还确定了 $\sat(n,K_1\lor F)$ 的值,其中 $F$ 是不含孤立点的线性森林。