图的博弈饱和数

给定图族 ${\mathcal F}$ 和宿主图 $H$，如果图 $G\subseteq H$ 的任何子图都不属于 ${\mathcal F}$，但将 $E(H)-E(G)$ 中的任意一条边添加到 $G$ 中都会产生这样的子图，则称 $G$ 相对于 $H$ 是 ${\mathcal F}$-饱和的。在 $H$ 上的 ${\mathcal F}$-饱和博弈中，玩家 Max 和 Min 交替将 $H$ 的边添加到 $G$ 中，避免出现 ${\mathcal F}$ 中的子图，直到 $G$ 相对于 $H$ 变为 ${\mathcal F}$-饱和的。他们分别旨在最大化或最小化博弈的长度；$\textrm{sat}_g({\mathcal F};H)$ 表示在最优博弈下的长度（当 Max 先手时）。设 ${\mathcal O}$ 表示所有奇圈的图族，${\mathcal T}$ 表示 $n$ 顶点树的图族，当 ${\mathcal F}=\{F\}$ 时将 ${\mathcal F}$ 记为 $F$。我们的结果包括：$\textrm{sat}_g({\mathcal O};K_{2k})=k^2$，对于 $n\ge6$ 有 $\textrm{sat}_g({\mathcal T};K_n)=\binom{n-2}{2}+1$，对于 $n\ge8$ 有 $\textrm{sat}_g(K_{1,3};K_n)=2\lfloor n/2 \rfloor$，$\textrm{sat}_g(K_{1,r+1};K_n)=\frac{rn}{2}-\frac{r^2}{8}+O(1)$，以及 $|\textrm{sat}_g(P_4;K_n)-(4n-1)/5|\le 1$。我们还确定了 $\textrm{sat}_g(P_4;K_{m,n})$；当 $m\ge n$ 时，若 $n$ 为偶数则为 $n$，若 $n$ 为奇数且 $m$ 为偶数则为 $m$，若 $mn$ 为奇数则为 $m+\lfloor n/2 \rfloor$。最后，我们证明了下界 $\textrm{sat}_g(C_4;K_{n,n})\ge\frac{1}{10.4}n^{13/12}-O(n^{35/36})$。当 Min 先手时，除了 $K_{m,n}$ 上的 $P_4$-饱和博弈外，结果非常相似。