无圈饱和游戏的线性界

给定图族 $\mathcal{F}$，我们定义 $\mathcal{F}$-饱和游戏如下。两名玩家在初始为空的有 $n$ 个顶点的图上交替添加边，唯一的限制是任何玩家都不能添加会产生 $\mathcal{F}$ 中子图的边。当无法再向图中添加边时游戏结束。其中一名玩家希望尽快结束游戏，另一名则希望延长游戏。令 $\textrm{sat}_g(n,\mathcal{F})$ 表示两名玩家均最优博弈时最终图中的边数。总体而言，关于 $\textrm{sat}_g(n,\mathcal{F})$ 数量级的平凡非平凡界极少。本文中，我们找到了若干无限圈族 $\mathcal{C}$，使得 $\textrm{sat}_g(n,\mathcal{C})$ 具有线性增长率。