k-边连通图族饱和的极值问题

设 $\mathcal{F}$ 为一个图族。图 $G$ 称为 $\mathcal{F}$-饱和的，如果 $G$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中任何成员作为子图，但对任意 $e\in E(\overline{G})$，图 $G+e$ 包含 $\mathcal{F}$ 的某个成员。$\mathcal{F}$ 的饱和数与极值数分别记为 $sat(n,\mathcal{F})$ 和 $ex(n,\mathcal{F})$，是指 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-饱和图中边数的最小值与最大值。对 $k\in\mathbb{N}$，令 $\mathcal{F}_k$ 和 $\mathcal{F}'_k$ 分别为 $k$-连通和 $k$-边连通图族。Wenger 证明了 $sat(n,\mathcal{F}_k)=(k-1)n-{k\choose2}$，我们证明了 $sat(n,\mathcal{F}'_k)=(k-1)(n-1)-\lfloor{\frac {n}{k+1}}\rfloor{k-1 \choose 2}$。我们也证明了 $ex(n,\mathcal{F}'_k)=(k-1)n-{k\choose2}$ 并刻画了等号成立的条件。最后，我们给出了 $\mathcal{F}_k$-饱和与 $\mathcal{F}'_k$-饱和图的谱半径下界。