$W_4$ 的饱和数

对于固定图 $H$,如果图 $G$ 不包含 $H$ 作为(非 necessarily 导出)子图,但对于任意 $e\in E(\overline{G})$,$G+e$ 包含 $H$ 的一个副本,则称图 $G$ 为 $H$-饱和的。$H$ 的饱和数,记为 ${\rm sat}(n,H)$,是 $n$ 顶点 $H$-饱和图中的最少边数。轮图 $W_n$ 是由长度为 $n$ 的圈通过添加一个新顶点并将其与圈上每个顶点相连而得到的图。Erd\H{o}s、Hajnal 和 Moon 的一个著名结果表明,对于所有 $n\geq 4$,${\rm sat}(n,W_3)=2n-3$,且 $K_2\vee \overline{K_{n-2}}$ 是唯一的极值图,其中 $\vee$ 表示图的连接操作。在本文中,我们研究了 $W_4$ 的饱和数。我们证明了对于所有 $n\geq 6$,${\rm sat}(n,W_4)=\lfloor\frac{5n-10}{2}\rfloor$,并对极值图进行了完整刻画。