$K_{2}\vee P_{k}$ 的饱和数

若图 $G$ 不包含 $H$ 的子图，但在任意一条边 $e\in E(\overline{G})$ 的情况下添加该边后即可得到 $H$ 的子图，则称 $G$ 为 $H$-饱和图。$H$ 的饱和数为所有阶为 $n$ 的 $H$-饱和图中边数的最小值，记作 $sat(n,H)$。本文研究 $sat(n,K_{2}\vee P_{k})$，其中 $k\geq 3$。定义整数 $a_k$如下：$k=3,4,5$ 时取 $a_k=k$；$k=2t\geq 6$ 时取 $a_k=3\cdot 2^{t-1}-2$；$k=2t+1\geq 7$ 时取 $a_k=2^{t+1}-2$。我们证明对 $n\geq a_k+2$ 且 $k\geq 3$ 有 $sat(n, K_{2}\vee P_{k})=2n-3+sat(n-2,P_{k})$，并刻画了具有 $sat(n,K_{2}\vee P_{k})$ 条边的 $K_{2}\vee P_{k}$-饱和图、具有 $sat(n,K_{1}\vee P_{k})$ 条边的 $K_{1}\vee P_{k}$-饱和图（$3\leq k\leq5$）以及具有 $sat(n, P_{k})$ 条边的 $P_{k}$-饱和图（$3\leq k\leq4$）。此外，本文提出一些进一步研究问题。