$K_{3,3}$ 的饱和数

若图 $G$ 不包含 $F$ 作为子图（不必诱导），但向 $G$ 添加任意缺失边都会产生一个 $F$ 的副本，则称 $G$ 为 $F$-饱和图。$F$ 的饱和数记为 $sat(n,F)$，是指 $n$ 个顶点的 $F$-饱和图的最小边数。确定完全多部图的饱和数是饱和数研究中最重要的问题之一。$sat(n,K_{2,2})$ 的值由 Ollmann 证明为 $\lfloor\frac{3n-5}{2}\rfloor$，后来 Tuza 给出了更简短的证明。对于 $K_{2,3}$，多年来一系列研究致力于确定 $sat(n,K_{2,3})$。这最终由 Chen 完成，其证实了 Bohman、Fonoberova 和 Pikhurko 的一个猜想：对所有 $n\geq 5$，$sat(n, K_{2,3})= 2n-3$。本文中，我们证明了 Pikhurko 和 Schmitt 的一个猜想：当 $n \geq 9$ 时，$sat(n, K_{3,3})=3n-9$。