3-一致松散 3-圈的饱和性

设 $F$ 和 $H$ 为 $k$-一致超图。若 $H$ 不包含同构于 $F$ 的子图，但对任意超边 $e\not\in E(H)$，$H+e$ 包含同构于 $F$ 的子图，则称 $H$ 是 $F$-饱和的。$F$ 的饱和数记为 $\mathrm{sat}_k(n,F)$，是指顶点数为 $n$ 的 $F$-饱和 $k$-一致超图 $H$ 的最小边数。令 $C_3^{(3)}$ 表示含 $3$ 条边的 3-一致松散圈。在本文中，我们证明 $$\left(\frac{4}3+o(1)\right)n\leq \mathrm{sat}_3(n,C_3^{(3)})\leq \frac{3}2n+O(1).$$ 这是关于固定短超图圈的饱和数的首个非平凡结果。