Berge-$C_3$ 与 Berge-$C_4$ 的线性饱和数

$\mathcal{F}$ 的线性饱和数 $sat^{lin}_k(n,\mathcal{F})$（线性极值数 $ex^{lin}_k(n,\mathcal{F})$）是指一个 $n$ 顶点线性 $k$-一致超图中不含 $\mathcal{F}$ 中任何成员作为子图、但添加任意新超边后若结果超图仍为线性 $k$-一致超图则会产生 $\mathcal{F}$ 中某个超图副本时，其超边数的最小（最大）值。确定 $ex_3^{lin}(n$, Berge-$C_3$) 等价于著名的 (6,3)-问题，该问题已于 1976 年解决。此后，Berge 圈的线性极值数被广泛研究。作为该问题在饱和问题中的对应，确定 Berge 圈的线性饱和数问题被提出。本文中，我们证明了对任意整数 $k\ge3$、$t\ge 3$，有 $sat^{lin}_k(n$, Berge-$C_t)\ge \big\lfloor\frac{n-1}{k-1}\big\rfloor$，且当 $t=3$ 时取等号。此外，我们给出了 $sat^{lin}_3(n,$ Berge-$C_4)$ 的上界，并对任意不连通的 Berge-$C_4$-饱和线性 3-一致超图，给出了其超边数的下界。