最小化 $\mathcal{C}_{\ge r}$-饱和图中的边数

给定图族 $\mathcal{F}$，若图 $G$ 不包含任何 $F\in\mathcal{F}$ 作为子图，但添加任意边 $e\notin E(G)$ 都会在 $G$ 内产生至少一个某个 $F\in\mathcal{F}$ 的拷贝，则称 $G$ 为 $\mathcal{F}$-饱和图。在 $n$ 个顶点上的 $\mathcal{F}$-饱和图的最小大小称为饱和数，记为 $\sat(n, \mathcal{F})$。令 $\mathcal{C}_{\ge r}$ 为长度至少为 $r$ 的圈族。Ferrara 等人 (2012) 给出了 $\sat(n, C_{\ge r})$ 的下界和上界，并确定了 $3\le r\le 5$ 时 $\sat(n, C_{\ge r})$ 的精确值。在本文中，我们确定了 $r=6$ 以及 $28\le \frac{n}2\le r\le n$ 时 $\sat(n,\mathcal{C}_{\ge r})$ 的精确值，并针对其他情况给出了新的上界和下界。