圈的彩虹饱和数

图 $H$ 的边着色是一个函数 $\mathcal{C}: E(H) \rightarrow \mathbb{N}$。如果 $H$ 的所有边颜色不同，我们称 $H$ 为彩虹的。给定图 $F$，如果边着色图 $G$ 不包含 $F$ 的彩虹副本，但添加任何颜色的任何非边都会产生 $F$ 的彩虹副本，则称 $G$ 为 $F$-彩虹饱和的。彩虹饱和数 $rsat(n,F)$ 是阶数为 $n$ 的 $F$-彩虹饱和图中的最少边数。在本文中，我们证明了关于圈彩虹饱和的若干结果。对于 $n \geq 5$，我们确定了 $rsat(n,C_4)$ 的精确值。对于 $n \geq 15$，我们证明了 $\frac{3}{2}n-\frac{5}{2} \leq rsat(n,C_{5}) \leq 2n-6$。对于 $r \geq 6$ 且 $n \geq r+3$，我们证明了 $\frac{6}{5}n \leq rsat(n,C_r) \leq 2n+O(r^2)$。此外，当 $G$ 为彩虹图时，我们建立了 $C_r$-彩虹饱和图 $G$ 的更好下界。