图的彩虹饱和

本文研究由 Barrus、Ferrara、Vandenbussche 和 Wenger 提出的如下问题。给定图 $H$ 和整数 $t$，$\operatorname{sat}_{t}\left(n, \mathfrak{R}{(H)}\right)$ 是多少？即在一个 $n$ 个顶点的 $t$-边着色图 $G$ 中，使得 $G$ 不含 $H$ 的彩虹副本，但向 $G$ 添加任意颜色取自 $\{1,2,\ldots,t\}$ 的新边都会产生 $H$ 的彩虹副本，所需的最少边数。本文完整刻画了 $\operatorname{sat}_{t}\left(n, \mathfrak{R}{(H)}\right)$ 作为 $n$ 的函数的增长率，适用于一大类连通图中的任意图 $H$ 以及任意 $t\geq e(H)$。该分类包含所有最小度为 $2$ 的连通图。特别地，我们证明了对任意 $r\geq 3$ 和 $t\geq {r \choose 2}$，有 $\operatorname{sat}_{t}\left(n, \mathfrak{R}{(K_r)}\right)=\Theta(n\log n)$，从而解决了 Barrus、Ferrara、Vandenbussche 和 Wenger 的一个猜想。我们还提出了若干新问题与猜想。