饱和数的一个下界及针对无三角形图的加强

图$H$和正整数$n$的饱和数$\operatorname{sat}(n, H)$是指阶数为$n$且不包含同构于$H$的子图，但添加任何一条边都会产生此类子图的图的最小尺寸。Erd\H{o}s、Hajnal 和 Moon 首先研究了完全图的饱和数，Cameron 和 Puleo 引入了$\operatorname{sat}(n,H)$的一个通用下界。在本文中，我们提出了$\operatorname{sat}(n, H)$的另一个下界，并对几类图$H$进行了加强，所有这些类都包括无三角形图类。为了证明其有效性，我们确定了直径为 3 的树的饱和数（相差一个加法常数）；这些是中心顶点度数分别为$s$和$t$的阶数为$s + t$的双星$S_{s,t}$。Faudree、Faudree、Gould 和 Jacobson 确定了$\operatorname{sat}(n, S_{t,t}) = (t-1)n/2 + O(1)$。我们证明了当$s < t$时，$\operatorname{sat}(n,S_{s,t}) = (st+s)n/(2t+4) + O(1)$。我们还将我们的下界应用于毛虫图，并展示了某些直径为 4 的毛虫图饱和数的上界。