随机图中饱和数的跳跃？

对于图 $G$ 和 $F$，饱和数 $\textit{sat}(G,F)$ 是 $G$ 的包含极大的无 $F$ 子图中边数的最小值。2012017 年，Kor\'andi 和 Sudakov 开创了随机图饱和的研究。他们证明了对于常数 $p\in (0,1)$，whp $\textit{sat}\left(G(n,p),K_s\right)=\left(1+o(1)\right)n\log_{\frac{1}{1-p}}n$。我们证明了对于每个图 $F$ 和每个常数 $p\in (0,1)$，whp $\textit{sat}\left(G(n,p), F\right)=O(n\ln n)$。此外，若 $F$ 的每条边都属于某个三角形，则上述为其正确的渐近量级，即 whp $\textit{sat}\left(G(n,p),F\right)=\Theta(n\ln n)$。我们进一步证明，对于一大类含不属于三角形的边的图族 $\mathcal{F}$（包括所有二部图），对任意 $F\in \mathcal{F}$ 和常数 $p\in(0,1)$，whp $\textit{sat}\left(G(n,p),F\right)=O(n)$。我们猜想这一从 $O(n)$ 到 $\Theta(n\ln n)$ 的急剧转变仅取决于该性质，即对于任意至少含一条不属于三角形的边的图 $F$，whp $\textit{sat}\left(G(n,p),F\right)=O(n)$。我们进一步推广了 Kor\'andi 和 Sudakov 的结果，证明对于更一般的图族 $\mathcal{F}'$（包括所有完全图 $K_s$ 以及所有形如 $K_{1,1,s_3,\ldots, s_{\ell}}$ 的完全多部图），对任意 $F\in \mathcal{F}'$ 和每个常数 $p\in(0,1)$，whp $\textit{sat}\left(G(n,p),F\right)=\left(1+o(1)\right)n\log_{\frac{1}{1-p}}n$。最后，我们证明对于每个完全多部图 $K_{s_1, s_2, \ldots, s_{\ell}}$ 和每个 $p\in \left[\frac{1}{2},1\right)$，$\textit{sat}\left(G(n,p),K_{s_1,s_2,\ldots,s_{\ell}}\right)=\left(1+o(1)\right)n\log_{\frac{1}{1-p}}n$。