H-饱和图中含少量 T 拷贝
组合数学
2018-10-16 v2
摘要
若一个图是 F-自由的，但添加任意一条边都会产生一个 F 的拷贝，则称其为 F-饱和的。本文研究量 sat(n, H, F)，它表示在 n 个顶点上、F-饱和的图所可能包含的 H 拷贝的最小数量。该参数是 Alon 与 Shikhelman 广义 Turán 问题的一个自然饱和类比；令 H = K_2 则恢复为被广泛研究的饱和函数。我们对该一般函数进行了初步探究，重点关注宿主图为 K_s-饱和或 C_k-饱和的情形。一些具代表性的有趣现象为：(a) 对任意自然数 m，存在图 H 与 F 使得 sat(n, H, F) = Θ(n^m)。(b) 对许多对 k 与 l，我们证明 sat(n, C_l, C_k) = 0。特别地，我们证明对任意 k > 4 且足够大的 n，存在一个无三角形的、C_k-饱和的 n 顶点图。(c) sat(n, K_3, K_4) = n-2，sat(n, C_4, K_4) ~ n^2/2，且 sat(n, C_6, K_5) ~ n^3。我们讨论了若干尚未解决的引人入胜的问题。
引用
@article{arxiv.1810.00939,
title = {Few $T$ copies in $H$-saturated graphs},
author = {Jürgen Kritschgau and Abhishek Methuku and Michael Tait and Craig Timmons},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.00939},
year = {2018}
}
备注
28 pages