不含 $4$-圈和 $5$-圈的最小饱和图

给定一个图族 $\mathcal{F}$,若图 $G$ 不包含任何 $F\in\mathcal{F}$ 作为子图,但添加任意不属于 $E(G)$ 的边 $e$ 都会在 $G$ 中产生至少一个 $\mathcal{F}$ 中某 $F$ 的副本,则称图 $G$ 是 $\mathcal{F}$-饱和的。$n$ 个顶点上 $\mathcal{F}$-饱和图的最小阶数称为饱和数,记为 $\mbox{sat}(n, \mathcal{F})$。设 $C_r$ 为长度为 $r$ 的圈。本文研究当 $\mathcal{F}$ 为圈族时 $\mbox{sat}(n, \mathcal{F})$ 的取值。特别地,我们确定了对任意正整数 $n$,均有 $\mbox{sat}(n, \{C_4,C_5\})=\lceil\frac{5n}{4}-\frac{3}{2}\rceil$。