三部图中的饱和数

给定图 $H$ 和 $F$，若子图 $G\subseteq H$ 满足 $F\nsubseteq G$，但对于所有 $e\in E(H)\setminus E(G)$ 均有 $F\subseteq G+e$，则称 $G$ 为 $H$ 的 $F$-饱和子图。$F$ 在 $H$ 中的饱和数（记为 $\text{sat}(H,F)$）是指 $H$ 的 $F$-饱和子图中的最小边数。在本文中，我们研究三部图中的三部图饱和数。对于 $\ell\ge 1$ 且 $n_1$、$n_2$ 和 $n_3$ 足够大的情况，我们精确确定了 $\text{sat}(K_{n_1,n_2,n_3},K_{\ell,\ell,\ell})$ 和 $\text{sat}(K_{n_1,n_2,n_3},K_{\ell,\ell,\ell-1})$，并在一个加法常数范围内确定了 $\text{sat}(K_{n_1,n_2,n_3},K_{\ell,\ell,\ell-2})$。我们还包含了针对 $\ell\ge m\ge p>0$ 的 $K_{n_1,n_2,n_3}$ 中具有较少边数的 $K_{\ell,m,p}$-饱和子图的一般构造方法。