proper rainbow saturation 的改进上界

给定图 $H$，若图 $G$ 满足以下条件，则称 $G$ 为 $H$ 的 proper rainbow saturated 图：(1)存在一种 $G$ 的 proper 边染色，包含无 rainbow 形态的 $H$；(2)对于每一个 $e \notin E(G)$，每一种 $G+e$ 的 proper 边染色都包含一个 rainbow 形态的 $H$。proper rainbow saturation 数 $\text{sat}^*(n,H)$ 是 properly rainbow $H$-saturated 图中边数的最小值。在本文中，我们利用与经典饱和数和半饱和数之间的联系，为一般的完全图、循环和完全二分图提供新的上界。我们还提供一些 general lower bound，并探讨了若干有趣的方向。