关于路的彩虹饱和数的一点注记

对于固定图 $F$ 和整数 $t$，$F$ 的\dfn{彩虹饱和数}记为 $sat_t(n,\mathfrak{R}(F))$，定义为 $n$ 个顶点上 $t$-边染色图中不含 $F$ 的\dfn{彩虹拷贝}（即所有边均染不同颜色的 $F$ 的拷贝）的最小边数，但添加来自 $[t]$ 的任意颜色的任意缺失边都会产生这样的彩虹拷贝。Barrus、Ferrara、Vardenbussche 和 Wenger 证明了对于 $\ell\ge 4$ 有 $sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\ge n-1$，且对于 $t\ge \binom{\ell-1}{2}$ 有 $sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell-1} \rceil \cdot \binom{\ell-1}{2}$，其中 $P_\ell$ 是含 $\ell$ 条边的路。在这篇短注中，我们改进了上界，并证明对于 $\ell\ge 5$ 和 $t\ge 2\ell-5$ 有 $sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell} \rceil \cdot \left({{\ell-2}\choose {2}}+4\right)$。