$K_r$-饱和图与两族定理

给定图 $H$,称图 $G$ 为 $H$-饱和的,若 $G$ 不含 $H$ 的拷贝,但向 $G$ 添加任意新边都会产生 $H$ 的拷贝。令 $sat(n,K_r,t)$ 为具有至少 $t$ 的最小度的 $n$ 个顶点上的 $K_r$-饱和图的最小边数。Day 证明了对固定的 $r \geq 3$ 和 $t \geq r-2$,当 $n$ 足够大时 $sat(n,K_r,t)=tn-c(r,t)$,其中 $c(r,t)$ 为依赖于 $r$ 和 $t$ 的常数,并对固定的 $r$ 和大的 $t$ 证明了估计 $$2^t t^{3/2} \ll_r c(r,t) \leq t^{t^{2t^2}}$$。本文中我们证明对固定的 $r$ 和大的 $t$,$c(r,t)$ 的阶由 $c(r,t)=\Theta_r \left(4^t t^{-1/2} \right)$ 给出。此外,我们研究其对 $r$ 的依赖性,得到估计 $$\frac{4^{t-r}}{\sqrt{t-r+3}} + r^2 \ll c(r,t) \ll \frac{4^{t-r} \min{(r,\sqrt{t-r+3})}}{\sqrt{t-r+3}} + r^2 \ .$$ 我们进一步证明对所有 $r$ 和 $t$,存在有限图族使得所有极值图均为该图族中图的 blow-up。利用类似思想,我们证明对每个大的 $K_r$-饱和图(具有 $e$ 条边),在 $r \geq 3$ 一致地存在大小为 $O(e / \log e)$ 的顶点覆盖。这加强了 Pikhurko 先前的结果。我们也给出使该界紧的例子。证明中的一个关键要素是 Bollob\'as 两族定理的一个新版本。