关于 $(K_t,\mathcal{T}_k)$-余临界图的大小

给定整数 $r\ge1$ 以及图 $G, H_1, \ldots, H_r$，若 $G$ 的每条边的 $r$-染色都包含某个 $i\in\{1, \ldots, r\}$ 下颜色 $i$ 的 $H_i$ 的单色拷贝，则记 $G \rightarrow ({H}_1, \ldots, {H}_r)$。若非完全图 $G$ 满足 $G \nrightarrow ({H}_1, \ldots, {H}_r)$，但对 $\overline{G}$ 中每条边 $e$ 均有 $G+e\rightarrow ({H}_1, \ldots, {H}_r)$，则称 $G$ 为 $(H_1, \ldots, H_r)$-余临界的。本文受 Hanson 与 Toft 猜想 [Edge-colored saturated graphs, J Graph Theory 11(1987), 191--196] 的启发，研究所有 $n$ 个顶点上的 $(K_t, \mathcal{T}_k)$-余临界图的最小边数，其中 $\mathcal{T}_k$ 表示所有 $k$ 个顶点的树组成的族。遵循 Day [Saturated graphs of prescribed minimum degree, Combin. Probab. Comput. 26 (2017), 201--207]，我们将图自举渗流应用于不一定 $K_t$-饱和的图，证明了对所有 $t\ge4$ 与 $k\ge \max\{6, t\}$，存在常数 $c(t, k)$ 使得对所有 $n \ge (t-1)(k-1)+1$，若 $G$ 是 $n$ 个顶点上的 $(K_t, \mathcal{T}_k)$-余临界图，则 $$e(G)\ge \left(\frac{4t-9}{2}+\frac{1}{2}\left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil\right)n-c(t, k).$$ 此外，当 $t\in\{4,5\}$ 且 $k\ge6$ 时该线性界渐近最佳可能。本文所发展之方法或可为攻克 Hanson 与 Toft 猜想提供些许启示。