关于不含大团临界图的密度

图 $G$ 是 \textit{$k$-临界}的，如果 $\chi(G) = k$ 且 $G$ 的每个真子图都是 $(k - 1)$-可着色的；如果 $L$ 是 $G$ 的列表赋值，则 $G$ 是 \textit{$L$-临界}的，如果 $G$ 不是 $L$-可着色的但 $G$ 的每个真诱导子图都是。2014 年，Kostochka 和 Yancey 证明了 $n$ 顶点 $k$-临界图平均度的一个下界，对大 $n$ 趋于 $k - \frac{2}{k - 1}$，且对无穷多个 $n$ 值紧；他们问对于不含大团图该下界如何改进。回答此问题，我们证明对于 $\varepsilon \leq 2.6\cdot10^{-10}$，若 $k$ 充分大且 $G$ 是 $K_{\omega + 1}$-自由的 $L$-临界图，其中 $\omega \leq k - \log^{10}k$，$L$ 是 $G$ 的列表赋值使得对所有 $v\in V(G)$ 有 $|L(v)| = k - 1$，则 $G$ 的平均度至少为 $(1 + \varepsilon)(k - 1) - \varepsilon \omega - 1$。该结果意味着对某些 $\varepsilon > 0$，对每个满足 $\omega(G) \leq \mathrm{mad}(G) - \log^{10}\mathrm{mad}(G)$ 的图 $G$（其中 $\omega(G)$ 是 $G$ 中最大团的大小，$\mathrm{mad}(G)$ 是 $G$ 的最大平均度），其列表色数至多为 $\left\lceil (1 - \varepsilon)(\mathrm{mad}(G) + 1) + \varepsilon\omega(G)\right\rceil$。