刻画 Ore 度至多为七的 4-临界图

Dirac 引入了$k$-临界图的概念，即本身不可$(k-1)$-着色但其每个真子图均可$(k-1)$-着色的图。Brook 定理指出，除非包含同构于$K_{k+1}$的子图（或当$k=2$时为奇圈），否则最大度为$k$的图均是$k$-可着色的。等价地，对于所有$k\ge4$，最大度为$k-1$的唯一$k$-临界图是$K_k$。Brook 定理的一个自然推广是考虑图的 Ore 度，即对所有边$uv$取$d(u)+d(v)$的最大值。Kierstead 和 Kostochka 证明了对于所有$k\ge6$，Ore 度至多为$2k-1$的唯一$k$-临界图是$K_k$。Kostochka、Rabern 和 Steibitz 证明了 Ore 度至多为 9 的唯一 5-临界图是$K_5$和他们称为$O_5$的图。Brook 定理的另一个由 Hajos 构造激发的推广是 Gallai 关于$k$-临界图最小密度的猜想。最近，Kostochka 和 Yancey 证明了 Gallai 猜想。他们针对$k\ge5$的证明蕴含了上述关于 Ore 度的结果。然而，$k=4$的情形仍未解决，这正是本文的主题。Kostochka 和 Yancey 针对$k=4$情形简短而优美的证明指出，若$G$是 4-临界图，则$|E(G)|\ge (5|V(G)|-2)/3$。我们证明了以下界限，当存在较大的度为三的顶点独立集时该界限更优：若$G$是 4-临界图，则$|E(G)|\ge 1.6 |V(G)| + .2 \alpha(D_3(G)) - .6$，其中$D_3(G)$是由$G$中度为三的顶点导出的子图。作为推论，我们将 Ore 度至多为七的 4-临界图表征为恰好由$K_4$和 Ore 合成所得图族中 Ore 度为七的图。