关于$4$-双临界有向图中弧的最小数目

有向图$D$的双色数$\vec{\chi}(D)$是为有向图顶点着色所需的最少颜色数，使得每个颜色类诱导出一个无环子有向图。若有向图$D$满足$\vec{\chi}(D) = k$且$D$的每个真子图$H$满足$\vec{\chi}(H) < k$，则称$D$为$k$-双临界。对于整数$k$和$n$，我们定义$d_k(n)$（分别为$o_k(n)$）为$k$-双临界有向图（分别为定向图）中可能的最少弧数。Kostochka和Stiebitz已证明$d_4(n) \geq \frac{10}{3}n -\frac{4}{3}$。他们还猜想存在常数$c$，使得对$k\geq 3$且$n$足够大时有$o_k(n) \geq cd_k(n)$。该猜想对$k=3$已知成立（Aboulker等人）。在本文中，我们证明每个含$n$个顶点的$4$-双临界定向图至少有$(\frac{10}{3}+\frac{1}{51})n-1$条弧，从而证明了$k=4$时的猜想。我们还精确刻画了恰有$\frac{10}{3}n -\frac{4}{3}$条弧的含$n$个顶点的$k$-双临界有向图。