关于 $k$-二临界有向图中弧的最小个数的各种界

有向图 $G$ 的二色数 $\vec{\chi}(G)$ 是使得 $G$ 可划分为 $k$ 个无环有向图的最小整数 $k$。若有向图满足 $\vec{\chi}(G) = k$ 且 $G$ 的每个真子图 $H$ 满足 $\vec{\chi}(H) \leq k-1$，则称其为 $k$-二临界的。我们证明了关于 $k$-二临界有向图中弧的最小个数的各种界、一个关于 $k$-二临界有向图的结构结果以及一个关于列表二染色的结果。我们刻画了具有 $(k-1)|V(G)| + 1$ 条弧的 $3$-二临界有向图 $G$。对于 $k \geq 4$，我们刻画了顶点数至少为 $k+1$ 且具有 $(k-1)|V(G)| + k-3$ 条弧的 $k$-二临界有向图 $G$，推广了 Dirac 的一个结果。我们证明，对于 $k \geq 5$，每个 $k$-二临界有向图 $G$ 至少有 $(k-1/2 - 1/(k-1)) |V(G)| - k(1/2 - 1/(k-1))$ 条弧，这是已知最好的下界。我们证明 $k$-二临界有向图中度为 $2(k-1)$ 的顶点所导出的连通分支数至多等于该有向图其余部分中的连通分支数，推广了 Stiebitz 的一个结果。最后，我们将 Thomassen 关于无向图列表色数的一个定理推广到具有向图的列表二色数。