关于 $k$-双临界有向图中弧的最小数目

有向图 $D$ 的双色数 $\dic(D)$ 是使得 $D$ 可划分为 $k$ 个有向无环有向图的最小整数 $k$。若有向图满足 $\dic(D) = k$ 且每个真子图 $D'$ 满足 $\dic(D') \leq k-1$，则称其为 $k$-双临界的。有向图是无长度为 $2$ 的有向环的有向图。对于整数 $k$ 和 $n$，记 $o_k(n)$ 为具有 $n$ 个顶点的 $k$-临界有向图的最小边数（若不存在阶为 $n$ 的 $k$-双临界有向图，则约定 $o_k(n)=+\infty$）。本文的主要结果是证明了对所有 $n \geq 12$ 有 $o_3(n) \geq \frac{7n+2}{3}$，并给出一个构造表明 $o_3(n) \leq \left \lceil \frac{5n}{2} \right \rceil$。我们还给出一个构造表明对所有足够大的 $n$ 及所有 $k\geq 3$，$o_k(n) < (2k-3)n$，从而反驳了 Hoshino 与 Kawarabayashi 的一个猜想。最后，我们证明对所有 $k\geq 2$，$o_k(n) \geq \pth{ k - \frac{3}{4}-\frac{1}{4k-6}} n + \frac{3}{4(2k-3)}$，改进了 Bang-Jensen、Bellitto、Schweser 与 Stiebitz 先前已知的最佳下界。