$k$-临界有向图中阶不超过 $2k-1$ 的最小弧数

有向图 $D$ 的二色数 $\vec{\chi}(D)$ 是使 $D$ 可用 $k$ 种颜色染色且 $D$ 中无单色有向圈的最小整数 $k$。此处考虑的有向图是有限的，可含反向平行弧，但无平行弧。若有向图 $D$ 的每个真子图 $D'$ 满足 $\vec{\chi}(D')<\vec{\chi}(D)=k$，则称 $D$ 为 $k$-临界。对整数 $k$ 与 $n$，令 $\overrightarrow{\mathrm{ext}}(k,n)$ 表示阶为 $n$ 的 $k$-临界有向图中可能的最小弧数。易证对所有 $n\geq 2$ 有 $\overrightarrow{\mathrm{ext}}(2,n)=n$，且对所有可能的 $n$ 有 $\overrightarrow{\mathrm{ext}}(3,n)\geq 2n$，其中等号成立当且仅当 $n$ 为奇数且 $n\geq 3$。作为主要结果，我们证明若 $n, k, p$ 为整数且 $n=k+p$、$2\leq p \leq k-1$，则 $\overrightarrow{\mathrm{ext}}(k,n)=2({\binom{n}{2}} - (p^2+1))$，并给出了等号成立的 $k$-临界有向图的精确刻画。这推广了 Tibor Gallai 于 1963 年获得的关于临界图的结果。